不等式性质的应用

不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教程中列举了不等式的性质，由这类性质是可以继续推导出其它有关性质。教程中所列举的性质是最基本、非常重要的，对此，不只要学会性质的内容，还要学会性质的证明办法，理解学会性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能结实记忆及正确运用。

1．不等式性质成立的条件

运用不等式的基本性质解答不等式问题，应该注意不等式成立的条件，不然将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，应该注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是不是具备可逆性。

例1：若，则下列不等关系中不可以成立的是（   ）

A．    B．    C．     D．

解：∵，∴。

由，，∴（A）成立。

由，，∴（C）成立。

由，，，∴（D）成立。

∵，，，，

，，∴（B）不成立。

故应选B。

例2：判断下列命题是不是正确，并说明理由。

（1）若，则；（2）若，则；

（3），，则；（4）若，则。

剖析：解决这种问题，主如果依据不等式的性质断定，其实质就是看是不是满足性质所需要的条件。

解：（1）错误。当时不成立。

（2）正确。∵且，在两边同乘以，不等式方向不变。∴。

（3）错误。，成立条件是。

（4）错误。，，当，，，均为正数时成立。

2．不等式性质在不等式等价问题中的应用

例3：下列不等式中不等价的是（   ）

（1）与

（2）与

（3）与

（4）与

A．（2）   B．（3）   C．（4）   D．（2）（3）

解：（1）。

（2），。

（3）且，。

（4）不等式的解均为

∴应选B。

3．借助不等式性质证明不等式

借助不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题必须要在理解的基础上，记准、记熟不等式的八条性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。

例4：若，，，求证：。

剖析：本题考查学生对不等式性质的学会及灵活应用。注意性质的用法条件。

解：∵，，又

∴，故。

而，∴

4．借助不等式性质求范围

借助几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类容易见到的综合问题，对于这种问题应该注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次用这种转化时，就大概扩大真实的取值范围，解题时务必谨慎，先打造待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是防止犯了错误误的一条渠道。

例5：若二次函数图像关于轴对称，且，，求的范围。

解：设（）。

∵，，

∴，，，

∴，

即。

5．借助不等式性质，探求不等式成立的条件

不等式的性质是不等式的基础，包含五个性质定理及三个推论，不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化才能正确地加以运用，借助不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用。

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